1. 理论基础

　　滨水工只求解基本的 Green-Ampt下渗模型，不涉及它的各种改进版本。其原理可参阅相关文献，如Mays (2019)等。在此仅列出其核心公式：

(1) $\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}={\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_s-{\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}_i$
(2) $F_p\left(t\right)=Kt+\mathrm{\psi \; <!--\; greek\; small\; letter\; psi\; -->}\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\ln (1+\frac{F_p\left(t\right)}{\mathrm{\psi \; <!--\; greek\; small\; letter\; psi\; -->}\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}})$
(3) $f_p\left(t\right)=K(\frac{\mathrm{\psi \; <!--\; greek\; small\; letter\; psi\; -->}\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{F_p\left(t\right)}+1)$

其中，θ_i为土体的初始体积含水率，θ_s为土体的饱和体积含水率（即土体的孔隙率），t为时间， F_p为理论（或称潜势）累计入渗深度 (mm)，f_p为理论（或称潜势）入渗率 (mm/h), K为土体的渗透系数或饱和导水率 (mm/h)，ψ为土体的吸力水头 (mm)。由公式 (3)可知，对于饱和土体 (Δθ = 0) ，f_p始终等于K。对于非饱和土体 (Δθ > 0)，f_p随时间单调下降，其渐进极限值为K。
　　公式(2)和(3)代表了一个连续的下渗过程，假设地表始终有足够多的积水以保证土体中充分的下渗。实际的降雨不一定能提供足够的地表积水，这样，降雨和下渗的互动过程将产生实际累计入渗深度 F和实际入渗率f。

2. 计算方法

　　滨水工使用渐进迭代法求解公式(2)以获得 F_p, 然后按照公式(3)求得f_p。公式(2)的迭代求解由假设的 F_p初值开始，迭代计算精度为0.01 mm。当前后两次F_p估计值之差的绝对值小于或等于0.01 mm时，迭代计算结束，最后的F_p估计值即为 F_p的近似解；否则，取前后两次 F_p估计值的均值，代入公式(2)继续求解。迭代采用的计算精度不同，F_p的结果当然会有所区别。如，采用迭代计算精度0.01 mm计算Mays (2019)中算例7.4.3， 滨水工所得的结果与 Mays (2019)的结果一致。当采用0.001 mm时，计算结果略有不同，如表1所示。迭代计算精度0.01 mm应该可以满足常规的工程计算要求。

　　当有降雨时，降雨量首先用于填充地表的坑洼。在填洼量蓄满以后，下渗开始。填洼量蓄满的时刻为t_d。t_d有可能是一个标准单元时段以内某个时刻，而不一定在一个时段的起止点。如果 t_d为一个时段以内某个时刻，下渗计算的第一个时间步长为 t_d至该时段的终点。之后，下渗计算的时间步长恢复至标准时间步长（即用户给定的计算时间步长）。
　　如果在一个时间段内有下渗发生，在这个时间段结束时， f_p会被修正，记为f_pu；具体方法在后面说明。f_pu称为修正后的潜势入渗率，代表了一个实时的入渗潜力，是土体与实际降雨过程互动的结果。如果在一个时间段内没有下渗发生，这个时间段结束时的f_pu则等于前一时间段结束时的f_pu。
　　累计入渗深度的起始值为零；即，当下渗开始时， F = F_p = 0。对于非饱和土体 (∆θ > 0) ，由公式(3)可知，在理论上， f_p的起始值为正无穷大，即 f_p = +∞。在这种情况下， 滨水工假设f_p和f_pu的起始值均为正无穷大（无具体数值），并进而假设实际入渗率( f)的起始值等于下渗开始时刻的降雨强度。
　　由前所述，公式(2)用于计算潜势入渗深度 F_p。如果实际雨量低于土体的下渗能力，公式(2)所代表的连续充分下渗过程会被扰乱，故公式(2)计算中的时间项不能采用下渗开始以来的自然累计时间。此时，公式(2)需要一个用于潜势入渗计算的等效时间，t_e。这个等效时间虚拟了一个自下渗开始以来公式(2)所经历的累计时间。由公式(2)，

(4) $t_e\left(t\right)=\frac{F\left(t\right)-\mathrm{\psi \; <!--\; greek\; small\; letter\; psi\; -->}\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}\ln (1+\frac{F\left(t\right)}{\mathrm{\psi \; <!--\; greek\; small\; letter\; psi\; -->}\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}})}{K}$

其中, t_e(t)为t时刻的潜势入渗等效时间。在t之前，如果降雨量始终能够保证土体中充分的下渗， t_e= t；否则，t_e< t 。
　　如图1所示，在任一时刻t₁，f_pu和i之间可能存在三种情况。时刻 t₁后的计算时间步长为dt，下一时刻为t₂。在情况(1)或(2)中， i(t₁) < f_pu(t₁) ；在情况(3)中，i(t₁)≥ f_pu (t₁)。这三种情况亦可参阅 Alan A. Smith Inc. (2004)。如，对于非饱和土体，下渗的初始时刻属于情况(1)或(2)。下渗计算在这三种情况中将有所区别。

　　情况(1)或(2)可由积水时间(t_p)来进一步判别。由Alan A. Smith Inc. (2004) 所示，在t₁之后，对任意降雨强度i (mm/h)，可结合公式(3)获得一个对应的t_p：

(5) $t_p=\frac{K\mathrm{\psi \; <!--\; greek\; capital\; letter\; psi\; -->}\mathrm{\Delta \; <!--\; greek\; capital\; letter\; delta\; -->}\mathrm{\theta \; <!--\; greek\; small\; letter\; theta\; -->}}{i(i-K)}-\frac{F\left(t_1\right)}{i}$

在情况(1)中，t_p ≥ dt。在情况(2)中，t_p < dt，此时t_t = t_p。

2.1 情况(1)：i( t₁) < f_pu(t₁), t_p ≥ dt
　　主要计算内容如下：

2.2 情况(2)：i(t₁) < f_pu(t₁), t_p < dt
　　主要计算内容如下：

(6) $t_e\left(t_2\right)=t_e(t_1+t_t)+dt-t_t$

(7) $i_e\left(t_1\right)=i\left(t_1\right)-\frac{F\left(t_2\right)-F\left(t_1\right)}{dt}$

2.3 情况(3)： i(t₁) ≥ f_pu (t₁)
　　主要计算内容如下：

(8) $t_e\left(t_2\right)=t_e\left(t_1\right)+dt$

3. 参数输入

　　用户需要在参数输入页面上给定以下信息：

　　对于需要页面输入的参数，请务必输入数值。否则滨水工无法有效运行。

4. 结果输出

　　滨水工采用Python 3.9.0 (van Rossum等 2022)开发本计算程序。
　　在输出的计算结果图上，为方便与降雨强度比较，f用柱状图表示；即，一个时间步长起点处的f显示在整个步长内。
　　地表坑洼的充填速率即单位时间内的填洼量（或消耗的降雨量），按降雨初期相应时段内的降雨强度表示。
　　如果无需生成净雨过程，滨水工仅输出f_p。如果降雨量不足以蓄满地表的坑洼，没有下渗产生，也不会有净雨产生，此时滨水工仅输出f_p。
　　在输出的数值结果中，净雨强度按一个步长内的平均值给出，见公式 (7)。然而，出于展示目的，对于图1中的情况(2)，结果图中按三角形近似绘出净雨强度。

参考文献

Alan A. Smith Inc. (2004) MIDUSS Version 2 Reference Manual

Mays, L.W. (2019) Water Resources Engineering, 3rd Edition, Wiley.

van Rossum, G., and the Python Development Team (2022) The Python Language Reference (Release 3.9.13), Python Software Foundation (http://www.python.org)